如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AA1,M為CC1的中點.
(Ⅰ)求證:BM⊥AB1
(Ⅱ)試在棱AC上確定一點N,使得AB1∥平面BMN.

解:(Ⅰ)證明:取A1B1的中點F,連接A1B,AB1交于點E,連接EF,C1F.
因為△A1B1C1是正三角形,
所以C1F⊥A1B1
又ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以B1B⊥面A1B1C1,所以B1B⊥C1F.
所以有C1F⊥面BB1A1A.
?ME⊥面BB1A1A?ME⊥AB1,
又在面BB1C1C中AB1⊥A1B,
所以AB1⊥平面BEM,
所以BM⊥AB1
(Ⅱ)N為AC的三等分點,CN:NA=1:2.
連接B1C,B1C∩BM=E1,
∵△CE1M∽△B1E1B,
==,
==,∴AB1∥NE1
又∵E1N?面BMN,AB1?面BMN
∴AB1∥平面BMN
分析:(Ⅰ)取A1B1的中點F,先利用△A1B1C1是正三角形,證得C1F⊥A1B1.?B1B⊥C1F.?ME⊥面BB1A1A;再利用在面BB1C1C中AB1⊥A1B,
就可得到AB1⊥平面BEM,進而證得BM⊥AB1;
(Ⅱ)找N為AC的三等分點,利用△CE1M∽△B1E1B,?AB1∥NE1?AB1∥平面BMN.
點評:本題是對線線垂直和線面平行的綜合考查.在證明線面平行時,其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線.當然也可以用面面平行來推導線面平行
練習冊系列答案
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A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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AOOB1
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