Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁，M為CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：BM⊥AB₁；
（Ⅱ）試在棱AC上確定一點N，使得AB₁∥平面BMN．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：取A₁B₁的中點F，連接A₁B，AB₁交于點E，連接EF，C₁F．
因為△A₁B₁C₁是正三角形，
所以C₁F⊥A₁B₁．
又ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以B₁B⊥面A₁B₁C₁，所以B₁B⊥C₁F．
所以有C₁F⊥面BB₁A₁A．
?ME⊥面BB₁A₁A?ME⊥AB₁，
又在面BB₁C₁C中AB₁⊥A₁B，
所以AB₁⊥平面BEM，
所以BM⊥AB₁；
（Ⅱ）N為AC的三等分點，CN：NA=1：2．
連接B₁C，B₁C∩BM=E₁，
∵△CE₁M∽△B₁E₁B，
∴==，
∴==，∴AB₁∥NE₁
又∵E₁N?面BMN，AB₁?面BMN
∴AB₁∥平面BMN
分析：（Ⅰ）取A₁B₁的中點F，先利用△A₁B₁C₁是正三角形，證得C₁F⊥A₁B₁．?B₁B⊥C₁F．?ME⊥面BB₁A₁A；再利用在面BB₁C₁C中AB₁⊥A₁B，
就可得到AB₁⊥平面BEM，進而證得BM⊥AB₁；
（Ⅱ）找N為AC的三等分點，利用△CE₁M∽△B₁E₁B，?AB₁∥NE₁?AB₁∥平面BMN．
點評：本題是對線線垂直和線面平行的綜合考查．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行