Question

已知點A的坐標為（-4，4），直線l的方程為3x+y-2=0，求：
（1）點A關于直線l的對稱點A′的坐標；
（2）直線l關于點A的對稱直線l′的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出點A關于直線l的對稱點A′的坐標，利用斜率乘積等于-1，中點坐標公式在對稱軸上，列出方程組求解即可；
（2）直線l關于點A的對稱直線l′，兩條直線平行，設出l′的方程，通過直線l上的一點M（0，2），求出關于A的對稱點，代入l′方程，即可求解．
解答：解：（1）設點A′的坐標為（x′，y′）．
因為點A與A′關于直線l對稱，所以AA′⊥l，且AA′的中點在l上，而直線l的斜率是-3，所以k_AA'′=．
又因為k_AA'=…①．
再因為直線l的方程為3x+y-2=0，AA′的中點坐標是（），所以3•-2=0…②．
由①和②，解得x′=2，y′=6．所以A′點的坐標為（2，6）．
（2）關于點A對稱的兩直線l與l′互相平行，于是可設l′的方程為3x+y+c=0．在直線l上任取一點M（0，2），其關于點A對稱的點為M′（x′，y′），于是M′點在l′上，且MM′的中點為點A，由此得，即：x′=-8，y′=6．
于是有M′（-8，6）．因為M′點在l′上，
所以3×（-8）+6+c=0，∴c=18．
故直線l′的方程為3x+y+18=0．
點評：本題考查與直線關于點、直線對稱的直線方程的求法，對稱點的求法，考查計算能力轉(zhuǎn)化思想．