Question

已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，4），直線l的方程為3x+y-2=0，求：
（1）點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（2）直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l′的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，利用斜率乘積等于-1，中點(diǎn)坐標(biāo)公式在對(duì)稱軸上，列出方程組求解即可；
（2）直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l′，兩條直線平行，設(shè)出l′的方程，通過(guò)直線l上的一點(diǎn)M（0，2），求出關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，代入l′方程，即可求解．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x′，y′）．
因?yàn)辄c(diǎn)A與A′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以AA′⊥l，且AA′的中點(diǎn)在l上，而直線l的斜率是-3，所以k_AA'′=．
又因?yàn)閗_AA'=…①．
再因?yàn)橹本�l的方程為3x+y-2=0，AA′的中點(diǎn)坐標(biāo)是（），所以3•-2=0…②．
由①和②，解得x′=2，y′=6．所以A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，6）．
（2）關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的兩直線l與l′互相平行，于是可設(shè)l′的方程為3x+y+c=0．在直線l上任取一點(diǎn)M（0，2），其關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)為M′（x′，y′），于是M′點(diǎn)在l′上，且MM′的中點(diǎn)為點(diǎn)A，由此得，即：x′=-8，y′=6．
于是有M′（-8，6）．因?yàn)镸′點(diǎn)在l′上，
所以3×（-8）+6+c=0，∴c=18．
故直線l′的方程為3x+y+18=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程的求法，對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想．