Question

二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋1(a>0)，設(shè)f(x)＝x的兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂.

(1)如果b＝2且|x₂－x₁|＝2，求a的值；

(2)如果x₁<2<x₂<4，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝x₀，求證：x₀>－1.

Answer 1

解析　(1)當(dāng)b＝2時(shí)，f(x)＝ax²＋2x＋1(a>0)．

方程f(x)＝x為ax²＋x＋1＝0.

|x₂－x₁|＝2⇒(x₂－x₁)²＝4⇒(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4.

由韋達(dá)定理，可知

x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

代入上式，可得4a²＋4a－1＝0.

解得a＝，a＝(舍去)．

(2)證明：∵ax²＋(b－1)x＋1＝0(a>0)的兩根滿足x₁<2<x₂<4，

設(shè)g(x)＝ax²＋(b－1)x＋1，

∴即⇒

∴2a－b>0.

又∵函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝x₀，

∴x₀＝－>－1.