設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.
【答案】分析:(1)將a=1代入,對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率=f'(1),切點(diǎn)為(1,2),從而得到切線方程.
(2)分x≥e和x<e兩種情況討論.分別對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)性后可得到答案.
解答:解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+|lnx-1|
令x=1得f(1)=2,f'(1)=1,所以切點(diǎn)為(1,2),切線的斜率為1,
所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為:x-y+1=0.
(2)①當(dāng)x≥e時(shí),f(x)=x2+alnx-a,(x≥e)
∵a>0,
∴f(x)>0恒成立.
∴f(x)在[e,+∞)上增函數(shù).
故當(dāng)x=e時(shí),ymin=f(e)=e2
②當(dāng)1≤x<e時(shí),f(x)=x2-alnx+1,
(1≤x<e)
(i)當(dāng),即0<a≤2時(shí),f'(x)在x∈(1,e)時(shí)為正數(shù),
所以f(x)在區(qū)間[1,e)上為增函數(shù).
故當(dāng)x=1時(shí),ymin=1+a,且此時(shí)f(1)<f(e)
(ii)當(dāng),即2<a<2e2時(shí),
f'(x)在時(shí)為負(fù)數(shù),在間時(shí)為正數(shù)
所以f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),在上為增函數(shù)
故當(dāng)時(shí),,
且此時(shí)
(iii)當(dāng);即a≥2e2時(shí),
f'(x)在x∈(1,e)時(shí)為負(fù)數(shù),
所以f(x)在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù),
當(dāng)x=e時(shí),ymin=f(e)=e2
綜上所述,當(dāng)a≥2e2時(shí),f(x)在x≥e時(shí)和1≤x≤e時(shí)的最小值都是e2
所以此時(shí)f(x)的最小值為f(e)=e2
當(dāng)2<a<2e2時(shí),f(x)在x≥e時(shí)的最小值為
,
所以此時(shí)f(x)的最小值為
當(dāng)0<a≤2時(shí),在x≥e時(shí)最小值為e2,在1≤x<e時(shí)的最小值為f(1)=1+a,
而f(1)<f(e),所以此時(shí)f(x)的最小值為f(1)=1+a
所以函數(shù)y=f(x)的最小值為
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系.當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
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12
x2-(a+1)x+a(1+ln x)

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