Question

已知函數(shù)的減區(qū)間是（-2，2）

（1）試求m,n的值；

（2）求過點且與曲線相切的切線方程；

（3）過點A(1,t)，是否存在與曲線相切的3條切線，若存在，求實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

⑴m=1，n=0; ⑵或;⑶存在, .

【解析】

試題分析：（1）由已知函數(shù)單調減區(qū)間為(-2,2)即為的解集為(-2,2)，利用根與系數(shù)的關系求出m與n的值即可；（2）當A為切點時，利用導數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程，化成一般式即可，當A不為切點時，設切點為P（x0，），這時切線的斜率是k=，將點A（1，-11）代入得到關于x0的方程，即可求出切點坐標，最后求出切線方程；（3）存在滿足條件的三條切線．設點P（x0，）是曲線f（x）=x3-12x的切點，寫出在P點處的切線的方程為y-=（x-x0）將點A（1，t）代入，將t分離出來，根據(jù)有三條切線，所以方程應有3個實根，設g（x）=2x3-3x2+t+12，只要使曲線有3個零點即可．建立不等關系解之即可．

試題解析：⑴由題意知：的解集為（-2，2），所以，-2和2為方程3mx2+4nx-12=0的根，由韋達定理知，解得:m=1，n=0.

⑵ ∵，∴，∵

當A為切點時，切線的斜率 ，

∴切線為，即；

當A不為切點時，設切點為，這時切線的斜率是，

切線方程為，即

因為過點A（1，-11）， ，

∴，

∴ 或，而為A點，即另一個切點為，

∴ ，

切線方程為 ，即

所以，過點的切線為或.

⑶ 存在滿足條件的三條切線.

設點是曲線的切點，

則在P點處的切線的方程為 即

因為其過點A（1，t），所以，，

由于有三條切線，所以方程應有3個實根，

設，只要使曲線有3個零點即可．

設 =0， ∴ 分別為的極值點，

當時，在和 上單增，

當時，在上單減，

所以，為極大值點，為極小值點.

所以要使曲線與x軸有3個交點，當且僅當即，

解得：.

考點：1.導數(shù)研究函數(shù)的單調性;2.導數(shù)研究曲線上某點切線方程.