如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠BAC=∠BC1C=90°,A1C1=a,C1B=2a.
(I)求證AB⊥平面AA1C1C;
(II)求證C1C⊥平面ABC1;
(III)求AC與BC1所成的角.

解:(I)∵側(cè)棱AA1⊥平面ABC,
AB?平面ABC,∴AA1⊥AB,
又∵∠BAC=90°∴AB⊥AC,
AA1∩AC=A,
從而AB⊥平面AA1C1C…(4分)
(II)由(I)可知AB⊥平面AA1C1C,C1C?平面AA1C1C,
∴C1C⊥AB
又∵C1C⊥BC1并且AB∩BC1=B,
∴C1C⊥平面ABC1…(8分)
(III)連接A1B,∵AC∥A1C1∴AC與BC1所成的角是∠BC1A1(或它的補(bǔ)角)
∵A1C1⊥A1B1,A1C1⊥A1A,,A1A∩A1B1=A1,∴A1C1⊥平面A1ABB1
∵BA1?平面A1ABB1∴A1C1⊥A1B
在直角三角形A1C1B中,A1C1=a,C1B=2a
∠BC1A1=60°
即 異面直線AC與BC1所成的角為60°…(15分)
分析:(I)證明AB垂直平面AA1C1C內(nèi)的兩條相交直線AA1,AC,即可證明結(jié)論;
(II)只需證明C1C垂直平面ABC1內(nèi)的兩條相交直線AB,BC1,即可證明直線與平面垂直;
(III)連接A1B,說明AC與BC1所成的角是∠BC1A1(或它的補(bǔ)角)通過證明三角形A1C1B是直角三角形,即可求解AC與BC1所成的角.
點評:本題是中檔題,考查直線與平面垂直的證明,直線與直線所成的角的判斷與求解,考查空間想象能力,計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,CA,CB,CC1兩兩垂直且長度相等,B1C1=
1
2
BC,D為BB1中點,E為AB上一點,且BE=
1
4
BA,
(Ⅰ)求證:DE∥平面ACC1A1;
(Ⅱ)設(shè)二面角B1-AB-C的大小為θ,求tgθ;
(Ⅲ)若AC=2,求點C到平面ABB1的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠BAC=∠BC1C=90°,A1C1=a,C1B=2a.
(I)求證AB⊥平面AA1C1C;
(II)求證C1C⊥平面ABC1;
(III)求AC與BC1所成的角.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2004-2005學(xué)年北京市豐臺區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠BAC=∠BC1C=90°,A1C1=a,C1B=2a.
(I)求證AB⊥平面AA1C1C;
(II)求證C1C⊥平面ABC1;
(III)求AC與BC1所成的角.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2003年浙江省杭州二中高三月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,CA,CB,CC1兩兩垂直且長度相等,B1C1=BC,D為BB1中點,E為AB上一點,且BE=BA,
(Ⅰ)求證:DE∥平面ACC1A1
(Ⅱ)設(shè)二面角B1-AB-C的大小為θ,求tgθ;
(Ⅲ)若AC=2,求點C到平面ABB1的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案