Question

如圖，島A，B相距5

7

海里，在B島的北偏東45⁰且距B島10

3

海里的C處，有一客輪沿直線方向勻速開往A島，半小時(shí)后測得客輪到達(dá)B島的北偏東15⁰且距B島10海里的D處，同時(shí)B島上的小陳坐小艇以10

7

海里/小時(shí)的速度沿直線方向前往A島．
（Ⅰ）求客輪航行的速度；
（Ⅱ）小陳能否先于客輪到達(dá)A島？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，在△DBC中算出BD=10，BC=10

3

且∠CBD=30°，利用余弦定理算出CD=10（海里）．再根據(jù)輪船航行的時(shí)間為半小時(shí)，用路程除以時(shí)間可算出輪船航行的速度．
（II）由CD=BD得∠C=∠CBD=30°，從而可得∠ADB=60°，然后在△ABD中根據(jù)余弦定理得算出AD=15，進(jìn)而算出輪船從D處到A島所用的時(shí)間t₁，將t₁與小陳到A島所用的時(shí)間t₂加以比較，可得小陳能先于客輪到達(dá)A島．

解答：解：根據(jù)題意，可得BC=10

3

，BD=10，AB=5

7

，
∠CBD=45°-15°=30°．
（Ⅰ）在△DBC中，根據(jù)余弦定理得：CD=

BC2+BD2-2BC•BD•cos∠CBD

=

(10 3 )2+102-2×10 3 ×10× 3 2

=10（海里）．
因此，輪船航行的速度為V=

CD

t

=

10

1 2

=20（海里/小時(shí)）．
（Ⅱ）∵CD=BD，∴∠C=∠CBD=30°，可得∠ADB=∠C+∠CBD=60°．
在△ABD中，根據(jù)余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos∠ADB，
將AB=5

7

、BD=10代入，化簡整理得AD²-10AD-75=0，
解之得AD=15或AD=-5（舍去）．
因此，輪船從D處到A島所用的時(shí)間t1=

15

20

=

3

4

小時(shí)，小陳到A島所用的時(shí)間t2=

5 7

10 7

=

1

2

小時(shí)．
∵t₂＜t₁，∴小陳能先于輪船到達(dá)A島．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求輪船的航行速度與從D處到A島所用的時(shí)間．著重考查了方位角的概念、利用余弦定理解三角形及其實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．