Question

2．關(guān)于x的方程$（{k-7}）{x^2}+4lnx-\frac{1}{x^2}+k=0$有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（4，7）．

Answer 1

分析 分離參數(shù)k=$\frac{7{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4lnx}{{x}^{2}+1}$，求出右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性和最值或極限，從而得出k的范圍．

解答 解：∵$（{k-7}）{x^2}+4lnx-\frac{1}{x^2}+k=0$有兩解，
∴k=$\frac{7{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4lnx}{{x}^{2}+1}$有兩解，
令f（x）=$\frac{7{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4lnx}{{x}^{2}+1}$，則f′（x）=$\frac{8xlnx+10x-\frac{8}{x}-\frac{2}{{x}^{3}}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=4，
又x→0時(shí)，f（x）→+∞，x→+∞時(shí)，f（x）→7，
∴4＜k＜7．
故答案為（4，7）．

點(diǎn)評 本題考查了方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．