Question

已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線x²-

y2

2

=1于A、B兩點，且

ON

=

1

2

（

OA

+

OB

）．
（1）求直線AB的方程；
（2）若過點N的直線交雙曲線于C、D兩點，且

CD

•

AB

=0，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

分析：（1）設(shè)存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點符合題意，依據(jù)

ON

=

1

2

（

OA

+

OB

），可得N（1，2）為中點，利用韋達定理，可求k=1，繼而得到直線方程．
（2）由（1）可得k的值，計算可得A、B的坐標(biāo)，由CD垂直平分AB，可得直線CD的方程，代入雙曲線方程，整理得x²+6x-11=0；記C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中點為M（x₀，y₀），則x₃，x₄是方程②的兩個根；計算可得，|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，即可得么A、B、C、D四點共圓．

解答：解�。�1）由題意知直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB：y=k（x-1）+2，代入x²-

y2

2

=1
得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0．（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩根，
∴2-k²≠0．
且x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

．
∵

ON

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∴N是AB的中點，
∴

x1+x2

2

=1，
∴k（2-k）=-k²+2，k=1，
∴直線AB的方程為y=x+1．
（2）共圓．將k=1代入方程（*）得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，4）．
∵

CD

•

AB

=0，∴CD垂直AB，
∴CD所在直線方程為
y=-（x-1）+2，
即y=3-x，代入雙曲線方程整理得x²+6x-11=0，
令C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）及CD中點M（x₀，y₀）
則x₃+x₄=-6，x₃•x₄=-11，
∴x₀=

x3+x4

2

=-3，y₀=6，
即M（-3，6）．
|CD|=

1+k2

|x₃-x₄|
=

1+k2

(x3+x4)2-4x3x4

=4

10

，
|MC|=|MD|=

1

2

|CD|=2

10

，
|MA|=|MB|=2

10

，
即A、B、C、D到M的距離相等，
∴A、B、C、D四點共圓．

點評：本題考查直線與雙曲線的綜合運用，注意解析幾何證明四點共圓問題時，一般轉(zhuǎn)化為四點或多點到定點的距離相等，即點與點之間的距離來求解．