Question

已知數列{a_n}為等比數列，a₂=6，a₅=162．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n是數列{a_n}的前n項和，證明

Sn•Sn+2

S 2 n+1

≤1．

Answer 1

分析：（1）用等比數列的通項公式分別表示出a₂和a₅，組成方程組求得a₁和q，進而根據等比數列的通項公式求得答案．
（2）根據（1）求得a₁和q，可得前n項的和，代入

Sn•Sn+2

S n+1 2

根據不等式的性質可證明原式．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，則a₂=a₁q，a₅=a₁q⁴．
依題意，得方程組

a1q=6 a1q4=162

解此方程組，得a₁=2，q=3．
故數列{a_n}的通項公式為a_n=2•3^n-1．
（2）Sn=

2(1-3n)

1-3

=3n-1．

Sn•Sn+2

S 2 n+1

=

32n+2-(3n+3n+2)+1

32n+2-2•3n+1+1

≤

32n+2-2 3n•3n+2 +1

32n+2-2•3n+1+1

=1，
即

Sn•Sn+2

S 2 n+1

≤1．

點評：本小題主要考查等比數列的概念、前n項和公式等基礎知識，考查學生綜合運用基礎知識進行運算的能力．