Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(0，

2

)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是

2

：1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線(xiàn)PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A，B，求證：直線(xiàn)AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）待定系數(shù)法求橢圓的方程．
（2）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出A、B橫坐標(biāo)之差，縱坐標(biāo)之差，從而求出AB斜率．
（3）設(shè)出AB直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求AB長(zhǎng)度，計(jì)算P到AB的距離，計(jì)算△PAB面積，
使用基本不等式求最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
由題意

a2=b2+c2 a：b= 2 ：1 c= 2 .

，解得a²=4，b²=2．
所以，橢圓C的方程為

y2

4

+

x2

2

=1．故點(diǎn)P（1，

2

）
（Ⅱ）由題意知，兩直線(xiàn)PA，PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為k，
則PB的直線(xiàn)方程為y-

2

=k(x-1)．
由

y- 2 =k(x-1) y2 4 + x2 2 =1.

 得，(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0．
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則xB=1•xB=

k2-2 2 k-2

2+k2

，同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

．
則xA-xB=

4 2 k

2+k2

，yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=

8k

2+k2

．
所以直線(xiàn)AB的斜率kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

為定值．
（Ⅲ）設(shè)AB的直線(xiàn)方程為y=

2

x+m，由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1.

得 4x2+2

2

mx+m2-4=0．
由△=(2

2

m)2-16(m2-4)＞0，得m²＜8．此時(shí)xA+xB=-

2 m

2

，xA•xB=

m2-4

4

．
由橢圓的方程可得點(diǎn)P（1，

2

），根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得P到AB的距離為d=

|m|

3

，
由兩點(diǎn)間的距離公式可得  |AB|=

(xA-xB)2+(yA-yB)2

=

- 3 2 m2+12

，
故 S△PAB=

1

2

|AB| •d=

1

2

- 3 2 m2+12

•

|m|

3

=

1

2

- m4 2 +4m2

 
=

1

2

1 2 m2(-m2+8)

≤

1

2

1 2

×

m2+(8-m2)

2

=

2

．
因?yàn)閙²=4使判別式大于零，所以當(dāng)且僅當(dāng)m=±2時(shí)取等號(hào)，所以△PAB面積的最大值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，注意應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，式子的化簡(jiǎn)變形，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．