Question

已知定點F（

p

2

，0）與定直線l：x=-

p

2

(p≥0)動圓C經(jīng)過點F且與l相切．
（1）試求動圓圓心C的軌跡E和E的軌跡方程．
（2）在（1）的條件下，若p≠0，過E的焦點作直線m交E于A，B兩點，O為原點，求∠AOB得最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動圓圓心C的坐標為（x，y），由圓C經(jīng)過點F且與l相切，可得

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，整理可得y²=2px，分p=0和p＞0討論，可得C的軌跡
（2）設(shè)直線m的方程為ky=x-

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．由韋達定理及向量夾角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，利用反三角函數(shù)可求出∠AOB得最大值

解答：解：（1）設(shè)動圓圓心C的坐標為（x，y）
∵圓C經(jīng)過點F且與l相切
∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|
∴y²=2px（p≥0）
①p=0，C的軌跡為x軸，方程為y=0
②p≠0，C的軌跡為拋物線，方程為 y²=2px（p＞0）…（6分）
（2）設(shè)直線m的方程為ky=x-

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．
由

ky=x- p 2 y2=2px

得y²-2kpy-p²=0
則y₁+y₂=2kp，y₁y₂=-p²，
∴x₁+x₂=（2k²+1）p，x₁x₂=

p2

4

∴cos∠AOB=

-3

16k2+25

≥-

3

5

故∠AOB的最大值為π-arccos

3

5

…（12分）

點評：本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，要理解好拋物線的定義，根據(jù)點到焦點和到準線的距離相等解題，屬于難題．