Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x+a），若f（x）=g（x）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=f（-x），化簡(jiǎn)可得x=-2kx對(duì)一切x∈R恒成立，從而求得k的值．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，方程2x+

1

2x

=a•2x+a有且只有一個(gè)實(shí)根，且a•2^x+a＞0成立，則a＞0．令t=2^x＞0，則（a-1）t²+at-1=0有且只有一個(gè)正根，分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)可知：f（x）=f（-x），
∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx，化簡(jiǎn)得log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，
即x=-2kx對(duì)一切x∈R恒成立，∴k=-

1

2

．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
即方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x+a)有且只有一個(gè)實(shí)根，
化簡(jiǎn)得：方程2x+

1

2x

=a•2x+a有且只有一個(gè)實(shí)根，且a•2^x+a＞0成立，則a＞0．
令t=2^x＞0，則（a-1）t²+at-1=0有且只有一個(gè)正根，
設(shè)g（t）=（a-1）t²+at-1，注意到g（0）=-1＜0，
所以①當(dāng)a=1時(shí)，有t=1，合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（t）圖象開口向下，且g（0）=-1＜0，則需滿足

- a 2(a-1) ＞0 △=0

，
此時(shí)有a=-2+2

2

；a=-2-2

2

（舍去）．
③當(dāng)a＞1時(shí)，又g（0）=-1，方程恒有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根．
綜上可知，a的取值范圍是{-2+2

2

}∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)．