Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x+a），若f（x）=g（x）有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=f（-x），化簡可得x=-2kx對一切x∈R恒成立，從而求得k的值．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，方程2x+

1

2x

=a•2x+a有且只有一個實根，且a•2^x+a＞0成立，則a＞0．令t=2^x＞0，則（a-1）t²+at-1=0有且只有一個正根，分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)可知：f（x）=f（-x），
∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx，化簡得log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，
即x=-2kx對一切x∈R恒成立，∴k=-

1

2

．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
即方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x+a)有且只有一個實根，
化簡得：方程2x+

1

2x

=a•2x+a有且只有一個實根，且a•2^x+a＞0成立，則a＞0．
令t=2^x＞0，則（a-1）t²+at-1=0有且只有一個正根，
設(shè)g（t）=（a-1）t²+at-1，注意到g（0）=-1＜0，
所以①當a=1時，有t=1，合題意；
②當0＜a＜1時，g（t）圖象開口向下，且g（0）=-1＜0，則需滿足

- a 2(a-1) ＞0 △=0

，
此時有a=-2+2

2

；a=-2-2

2

（舍去）．
③當a＞1時，又g（0）=-1，方程恒有一個正根與一個負根．
綜上可知，a的取值范圍是{-2+2

2

}∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)．