Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)a＞0，討論y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)分母不為0得到f（x）的定義域，求出f'（x），利用a的范圍得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的增減性即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要討論當(dāng)0＜a≤2時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)a≤0時(shí)三種情況討論得到a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）．對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=e^-ax．
（�。┊�(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=e^-2x，f'（x）在（-∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）為增函數(shù)．
（ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）為增函數(shù)．
（ⅲ）當(dāng)a＞2時(shí)，0＜＜1，令f'（x）=0，
解得x₁=，x₂=．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

f（x）在（-∞，），（，1），（1，+∞）為增函數(shù)，f（x）在（，）為減函數(shù)．
（Ⅱ）（�。┊�(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（Ⅰ）知：對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．
（ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，取x=∈（0，1），則由（Ⅰ）知f（x）＜f（0）=1
（ⅲ）當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1），恒有＞1且e^-ax≥1，得f（x）=e^-ax≥＞1．
綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈（-∞，2]時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．