Question

如圖，橢圓C₁與橢圓C₂中心在原點，焦點均在x軸上，且離心率相同．橢圓C₁的長軸長為2

2

，且橢圓C₁的左準線l：x=-2被橢圓C₂截得的線段ST長為2

3

，已知點P是橢圓C₂上的一個動點．
（1）求橢圓C₁與橢圓C₂的方程；
（2）設點A₁為橢圓C₁的左頂點，點B₁為橢圓C₁的下頂點，若直線OP剛好平分A₁B₁，求點P的坐標；
（3）若點M，N在橢圓C₁上，點P，M，N滿足

OP

=

OM

+2

ON

，則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C₁方程為

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1(a1＞b1＞0)，橢圓C₂方程為

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1(a2＞b2＞0)，由于2a1=2

2

，可得a1=

2

，又其左準線x=-2=-

a 2 1

c1

，可得c₁=1，則b₁=

a 2 1 - c 2 1

．可得橢圓C₁的離心率為e1=

2

2

．
由于兩個橢圓的離心率相同可得：橢圓C₂中

a

2 2

=2

b

2 2

，由線段的ST長為2

3

，得S(-2，

3

)，代入橢圓C₂的方程得可得

b

2 2

，即可得到

a

2 2

．
（2）利用中點坐標公式可得線段A₁B₁的中點坐標，進而得到直線OP的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點P的坐標；
（3）設P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x

2 0

+2

y

2 0

=10，

x

2 1

+2

y

2 1

=2，

x

2 2

+2

y

2 2

=2，由

OP

=

OM

+2

ON

可得：（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），利用向量相等可得

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

于是

x

2 0

+2

y

2 0

=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=10，展開即可得出x₁x₂+2y₁y₂=0，進而得到k_OM•k_ON為定值．

解答：解：（1）設橢圓C₁方程為

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1(a1＞b1＞0)，橢圓C₂方程為

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1(a2＞b2＞0)，
則2a1=2

2

，∴a1=

2

，又其左準線x=-2=-

a 2 1

c1

，
∴c₁=1，則b₁=1
∴橢圓C₁方程為

x2

2

+y2=1，其離心率為e1=

2

2

，
∴橢圓C₂中

a

2 2

=2

b

2 2

，
由線段的ST長為2

3

，得S(-2，

3

)，代入橢圓C₂

4

2 b 2 2

+

3

b 2 2

=1，得

b

2 2

=5，
∴

a

2 2

=10，
∴橢圓C₂方程為

x2

10

+

y2

5

=1； 
（2）A1(-

2

，0)，B1(0，-1)，
則A₁B₁中點為(-

2

2

，-

1

2

)，
∴直線OP為y=

2

2

x，
由

x2 10 + y2 5 =1 y= 2 2 x

，得

x= 5 y= 10 2

或

x=- 5 y=- 10 2

，
∴點P的坐標為(

5

，

10

2

)，(-

5

，-

10

2

)； 
（3）設P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

x

2 0

+2

y

2 0

=10，

x

2 1

+2

y

2 1

=2，

x

2 2

+2

y

2 2

=2，
由

OP

=

OM

+2

ON

可得：（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
∴

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

∴

x

2 0

+2

y

2 0

=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=

x

2 1

+4x1x2+4

x

2 2

+2

y

2 1

+8y1y2+8

y

2 2

=(

x

2 1

+2

y

2 1

)+4(

x

2 2

+2

y

2 2

)+6(x1x2+2y1y2)=10+6(x1x2+2y1y2)=10
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

，即kOM•kON=-

1

2

，
∴直線OM與直線ON的斜率之積為定值，且定值為-

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立、向量相等、斜率計算公式、整體代入等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．