Question

如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：
（1）直線EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線面平行關(guān)系的判定定理，在面ACD內(nèi)找一條直線和直線EF平行即可，根據(jù)中位線可知EF∥AD，EF?面ACD，AD?面ACD，滿足定理?xiàng)l件；
（2）需在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線和另一個(gè)面垂直，由線面垂直推出面面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD?面BCD，滿足定理所需條件．
解答：證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．
∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD，
∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直線EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，
∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力．