設(shè)x1,x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:x1*x2=(x1+x22-(x1-x22
(1)若x≥0,求動(dòng)點(diǎn)P(x,
x*a
)
的軌跡C的方程;
(2)若a=2,不過原點(diǎn)的直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為T,S,并且與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,試求
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ST
|
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SP
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+
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ST
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SQ
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的取值范圍;
(3)設(shè)P(x,y)是平面上的任意一點(diǎn),定義d1(P)=
1
2
(x*x)+(y*y)
,d2(P)
=
1
2
(x-a)*(x-a)
.若在(1)中的軌跡C存在不同的兩點(diǎn)A1,A2,使得d1(Ai)=
a
d2(Ai)(i=1,2)
成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)動(dòng)點(diǎn)P(x,
x*a
)
的軌跡C的方程即y=
x*a
,代入定義的運(yùn)算,即可得軌跡C的方程
(2)由題意得y2=8x(y≥0),設(shè)直線l:x=my+c,由已知m>0,c<0,將S,T,P,Q的坐標(biāo)代入
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ST
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SP
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+
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ST
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SQ
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可知只需求xp+xq,xp•xq,將直線與曲線聯(lián)立后即可得xp+xq,xp•xq,代入即得
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ST
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SP
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+
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ST
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|
SQ
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與m的函數(shù)關(guān)系,求范圍即可
(3)設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2),由定義d1(P)=
1
2
(x*x)+(y*y)
,d2(P)
=
1
2
(x-a)*(x-a)
,分別計(jì)算
d1(A1),d1(A2),d2(A1),d2(A2),d1(Ai)=
a
d2(Ai)(i=1,2)
成立,可轉(zhuǎn)化為方程
x2+4ax
=
a
|x-a|
在x∈[0,+∞)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解,利用韋達(dá)定理得到不等式組,即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍
解答:解:(1)設(shè)y=
x*a
=
(x+a)2-(x-a)2
=
4ax
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為:y2=4ax(y≥0)
(2)由題意得y2=8x(y≥0),設(shè)直線l:x=my+c,由已知m>0,c<0
則T(c,0).S,T,P,Q都在直線l上,∴
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ST
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SP
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+
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ST
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SQ
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=
|0-c|
|xP-0|
+
|0-c|
|xQ-0|
=|c|(
1
|xP|
+
1
|xQ|
)
,由題得c<0,xP>0,xQ>0∴
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ST
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SP
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+
|
ST
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SQ
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=-c(
1
xP
+
1
xQ
)=
-c(xP+xQ)
xPxQ

y2=8x
x=my+c
消去y得x2-(2c+8m2)x+c2=0
△=32m2(2m2+c)>0
xP+xQ=2c+8m2>0
xPxQ=c2>0
∵c<0,∴m2>-
1
2
c
m2
c
<-
1
2
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ST
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SP
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+
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ST
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SQ
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=2-
8m2
c
>2,
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ST
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SP
|
+
|
ST
|
|
SQ
|
的取值范圍是(2,+∞)
(3)由d1(P)=
1
2
(x*x)+(y*y)
=
x2+y2
,d2(P)=|x-a|
設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2),由已知有
x
2
1
+
y
2
1
=
a
|x1-a|,
x
2
2
+
y
2
2
=
a
|x2-a|

故方程
x2+4ax
=
a
|x-a|
在x∈[0,+∞)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解
整理得(a-1)x2-(2a2+4a)x+a3=0在x∈[0,+∞)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解∴
△=(2a2+4a)2-4a3(a-1)>0
x1+x2=
2a2+4a
a-1
>0
x1x2=
a3
a-1
≥0

又∵a>0,∴a>1
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了軌跡問題,直線與曲線的位置關(guān)系,一元二次方程根的分布等知識(shí),需要有很強(qiáng)的理解力和運(yùn)算力才可順利求解,屬難題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x1、x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:x1*x2=( x1+x22-( x1-x22,若x≥0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,
x*a
)的軌跡是( 。
A、圓
B、橢圓的一部分
C、雙曲線的一部分
D、拋物線的一部分

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x1、x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“⊕”:x1⊕x2=(x1+x22,定義運(yùn)算“?”:x1?x2=(x1-x22;對(duì)于兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),定義d(AB)=
y1?y2

(1)若x≥0,求動(dòng)點(diǎn)P(x,
(x⊕a)-(x?a)
) 的軌跡C;
(2)已知直線l1 : y=
1
2
x+1
與(1)中軌跡C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),若
(x1?x2)+(y1?y2)
=8
15
,試求a的值;
(3)在(2)中條件下,若直線l2不過原點(diǎn)且與y軸交于點(diǎn)S,與x軸交于點(diǎn)T,并且與(1)中軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q,試求
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x1,x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“⊕”,x1x2=(x1+x2)2,定義運(yùn)算“?”,x1?x2=(x1-x2)2.現(xiàn)有x≥0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,
(x⊕a)-(x?a)
)
的軌跡方程是
y2=4ax(y≥0)
y2=4ax(y≥0)

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設(shè)x1,x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:x1*x2=(x1+x22-(x1-x22
(1)若x≥0,求動(dòng)點(diǎn)P(x,
x*a
)
的軌跡C的方程;
(2)若a=2,不過原點(diǎn)的直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為T,S,并且與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,試求
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的取值范圍.

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