Question

14．設F₁、F₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，點M（a，b）．若∠MF₁F₂=30°，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 求得直線MF₁的斜率為tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即有$\frac{a+c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，運用a，b，c的關系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得F₁（-c，0），M（a，b），
直線MF₁的斜率為tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有$\frac{a+c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即a+c=$\sqrt{3}$b，
平方可得（a+c）²=3b²=3（c²-a²）=3（c+a）（c-a），
化簡可得a+c=3（c-a），
即為c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線的斜率公式和a，b，c的關系和離心率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．