(2012•日照一模)給出下列四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,則函數(shù)f(x)=x2+ax-3只有一個(gè)零點(diǎn);
③函數(shù)y=2
2
sinxcosx
[-
π
4
π
4
]
上是單調(diào)遞減函數(shù);
④若lga+lgb=lg(a+b),則a+b的最小值為4.
其中真命題的序號是
①④
①④
(把所有真命題的序號都填上).
分析:①命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;可由全稱命題的否定的書寫規(guī)則判斷其真假;
②若0<a<1,則f(x)=x2+ax-3只有一個(gè)零點(diǎn);可由函數(shù)的圖象特征進(jìn)行判斷;
③先化簡函數(shù)的表達(dá)式,然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可判斷.
④若lga+lgb=lg(a+b),則a+b的最小值為4;可由基本不等式將方程轉(zhuǎn)化關(guān)于a+b不等式,再解不等式求出a+b的最小值,進(jìn)行驗(yàn)證.
解答:解:①命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”是一個(gè)真命題,由于原命題是一個(gè)全稱命題,故其否定是一個(gè)特稱命題;正確;
②若0<a<1,則f(x)=x2+ax-3只有一個(gè)零點(diǎn)是個(gè)假命題,由于x=0時(shí),f(0)<0,x趨向于負(fù)無窮大與正無窮大時(shí)函數(shù)值都是正數(shù),故此函數(shù)至少有兩個(gè)零點(diǎn);
③函數(shù)y=
2
sin2x,
因?yàn)橛?nbsp;2kπ+
π
2
≤2x≤2kπ+
2
,∴kπ+
π
4
≤x≤kπ+
4
,(k∈Z),
∴函數(shù)y=2
2
sinxcosx
[-
π
4
,
π
4
]
上不是單調(diào)遞減函數(shù),故錯(cuò);
④若lga+lgb=lg(a+b),則a+b的最小值為4是個(gè)真命題,
由lga+lgb=lg(a+b),得ab=a+b≤(
a+b
2
)2
解得a+b≥4,故a+b的最小值為4;
綜上證明知①④是真命題
故答案為:①④
點(diǎn)評:本題考查命題真假判斷與應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握每個(gè)命題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,本題中②④兩個(gè)命題的真假判斷是個(gè)難點(diǎn),其中②的判斷用到了特殊值法,④的判斷技巧性較強(qiáng),解題時(shí)對此類技巧要注意掌握
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•日照一模)在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn).
(1)求證:BD⊥EG;
(2)求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•日照一模)給出下列四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,則函數(shù)f(x)=x2+ax-3只有一個(gè)零點(diǎn);
③函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)
的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-
π
12
,
12
]
;
④對于任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=f(x),且當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,則當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0.
其中真命題的序號是
①③④
①③④
(把所有真命題的序號都填上).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•日照一模)已知定義在R上奇函數(shù)f(x)滿足①對任意x,都有f(x+3)=f(x)成立;②當(dāng)x∈[0,
3
2
]
時(shí)f(x)=
3
2
-|
3
2
-2x|
,則f(x)=
1
|x|
在[-4,4]上根的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•日照一模)已知f(x)=
m
n
,其中
.
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
.
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0).若f(x)圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距離不小于π.
(I)求ω的取值范圍;
(II)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,a=
7
,S△ABC=
3
2
,當(dāng)ω取最大值時(shí),f(A)=1,求b,c的值.

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