Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a正方形，PD=2a，PA=PC=

5

a，
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求直線AC與平面PBC所成角的余弦值； 
（3）在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑．

Answer 1

分析：（1）先由題目給出的棱長判斷PD⊥DA，PD⊥DC，由線面垂直的判定知PD⊥底面，從而得出PD⊥DB，再根據(jù)底面是正方形，得對角線互相垂直，然后由先面垂直的判定得AC⊥面PBD，由兩面垂直的判定可得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個法向量，求向量

AC

與平面法向量夾角的余弦值的絕對值，則線面角的正弦值可求，運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求線面角的余弦值；
（3）利用等積法求四棱錐內(nèi)切球的半徑．

解答：（1）證明：連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為a正方形，所以，AD=DC=a，在三角形PDA中，因?yàn)镻D=2a，AD=a，PA=

5

a，
所以PD²+AD²=PA²，所以PD⊥AD，在三角形PDC中，同理可證PD⊥DC，又因?yàn)锳D∩DC=D，所以PD⊥面ABCD，
因?yàn)锳C?面ABCD，所以PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩BD=D，所以AC⊥面PBD，AC?面PAC，所以面PBD⊥面PA；
（2）解：分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），P（0，0，2a），
則

AC

=(-a，a，0)，設(shè)面PBC的一個法向量為

m

=(x，y，z)，

PB

=(a，a，-2a)，

PC

=(0，a，-2a)，
由

m • PB =0 m • PC =0

⇒

ax+ay-2az=0 ay-2az=0

，取z=1，則y=2，x=0，所以

m

=(0，2，1)，
設(shè)直線AC與平面PBC所成角為θ，則sinθ=|cos＜

AC

，

m

＞|=|

AC • m

| AC || m |

|=|

-a×0+a×2+0×1

2a2 × 5

|=

10

5

，
所以直線AC與平面PBC所成角的余弦值cosθ=

1-( 10 5 )2

=

15

5

；
（3）解：在這個四棱錐中放入一個球，球與五個面內(nèi)切時半徑最大，設(shè)半徑為r，
由四棱錐P-ABCD的體積等于以球心為頂點(diǎn)，四棱錐的五個面為底面的五個棱錐的體積和，
得：

1

3

×a×a×2a=

1

3

r(a×a+2×

1

2

×a×2a+2×

1

2

5

a×a)，解得：r=

2

3+ 5

a=

3- 5

2

a．
所以在這個四棱錐中放入一個球，球的最大半徑為

3- 5

2

a．

點(diǎn)評：本題考查了平面和平面垂直的判定，考查了直線和平面所成的角，運(yùn)用空間向量處理空間角的問題降低了題目難度，解答時要正確求出涉及到的平面的一個法向量，特別是運(yùn)用平面法向量求面面角時要注意法向量的方向，此題是中檔題．