Question

已知拋物線y²=2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱；
（2）求△AOB外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）根據(jù)|OA|=|OB|可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．由于A，B都在拋物線上進(jìn)而滿足y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，整理可得（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．根據(jù)x₁、x₂與p同號(hào)可知x₁+x₂+2p≠0進(jìn)而可得x₁=x₂．根據(jù)拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱．
（2）由（1）可知∠AOx=30°，進(jìn)而根據(jù)拋物線和直線方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)外接圓方程把點(diǎn)A代入即可求得d，方程可得．

解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂與p同號(hào)，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱．
（2）解：由（1）知∠AOx=30°，則y²=2px，x=6p，
∴y=

3

3

x，y=2

3

p．
∴A（6p，2

3

p）．
△AOB外接圓過(guò)原點(diǎn)O，且圓心在x軸上，可設(shè)其方程為x²+y²+dx=0．
將點(diǎn)A（6p，2

3

p）代入，得d=-8p．
故△AOB外接圓方程為x²+y²-8px=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用和用待定系數(shù)法求得曲線方程的問(wèn)題．是高考中經(jīng)�？嫉念}目，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．