Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（Ⅰ）求a₂；
（Ⅱ）求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（n+1）²（n∈N），T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n，n∈N，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）S₁=4，∴a₂=3．
  （Ⅱ）∵nS_n+1=（n+3）S_n…①∴當(dāng)n≥2時，有（n-1）S_n=（n+2）S_n-1…②
①-②有na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），
∴2a3=4a₂，3a₄=5a₃，…（n-1）a_n=（n+1）a_n+1（n≥3）
將以上各式左右兩端分別相乘，得（n-1）a_n=

(n+1)!

6

a₂，，∴a_n=

n(n+1)

2

，n≥3，
當(dāng)n=1，2時也成立，∴a_n=

n(n+1)

2

（n∈N⁺）．
   （Ⅲ）∵b_n=（n+1）²（n∈N），∴T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+(-1)

n(n+1)

2

（n+1）²，
當(dāng)n=4k，k∈N⁺時，T_n=-2²-3²+4²+5²+…-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²
∵-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4
∴T_n=32（1+2+3+…+k）-4k=（4k）²+12k=n²+3n
當(dāng)，k∈N⁺時，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=4k-1=n
當(dāng)，k∈N⁺時，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=4k-1-（4k）²=-n²-3n-3

當(dāng)n=4k-3，k∈N⁺時，，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=-4k=-n-3
∴T_n=

-n-3             n=4k-3 -n2-3n-3       n=4k-2 n                   n=4k-1 n2+3n           n=4k