Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．

(1)當(dāng)a＝4時(shí)，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；

(2)若當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2x＋y－2＝0.（2）(－∞，2]．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得f′(1)＝k,再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題： ，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性：為單調(diào)遞增，再利用洛必達(dá)法則得，即得的取值范圍

試題解析：解 (1)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)．當(dāng)a＝4時(shí)，

f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.

故曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為2x＋y－2＝0.

(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>0等價(jià)于ln x－>0.

設(shè)g(x)＝ln x－，則g′(x)＝－＝，g(1)＝0.

(i)當(dāng)a≤2，x∈(1，＋∞)時(shí)，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，

g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此g(x)>0.

(ii)當(dāng)a>2時(shí)，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.

由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故當(dāng)x∈(1，x2)時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上單調(diào)遞減，因此g(x)<0.

綜上，a的取值范圍是(－∞，2]．