已知函數(shù)f(x)=
2x-12x+1
，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）求證：方程f（x）-lnx=0至少有一根在區(qū)間（1，3）．
分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義進行判定即可；
（2）先建立函數(shù)令g(x)=f(x)-lnx=
2x-1
2x+1
-lnx，計算g（1）與g（3）的值，利用根的存在性定理進行判定即可．
解答：證明：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，且f(x)=
2x-1
2x+1
，則f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
2x+1

所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．（6分）
（2）令g(x)=f(x)-lnx=
2x-1
2x+1
-lnx，則函數(shù)y=g（x）在（1，3）連續(xù)．
因為g(1)=
21-1
21+1
-ln1=
1
3
＞0，g(3)=
23-1
23+1
-ln3=
7
9
-ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在區(qū)間（1，3）上．（12分）
點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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