Question

已知函數(shù)f（x）=log₃是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)P滿足2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y₁+y₂為定值；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=，其中n∈N^*，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用表示出，再由P是MN的中點(diǎn)可得到x₁+x₂=1，然后代入到y(tǒng)₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則即可得到y(tǒng)₁+y₂=1，得證．
（2）先由（Ⅰ）知當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，y₁+y₂=1，然后對進(jìn)行倒敘相加即可得到，再結(jié)合x₁+x₂=1時(shí)，y₁+y₂=1可得到．
（3）將（2）中的．代入到a_n的表達(dá)式中進(jìn)行整理當(dāng)n≥2時(shí)滿足．，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)滿足，再代入到T_n中進(jìn)行求值，當(dāng)T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立時(shí)可轉(zhuǎn)化為恒成立，再由均值不等式可求出m的范圍．
解答：解：（1）由已知可得，，
∴P是MN的中點(diǎn)，有x₁+x₂=1．
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）
=
=
=
=
=．
（2）解：由（Ⅰ）知當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₁）=1
，
，
相加得

=
=n-1
∴．
（3）解：當(dāng)n≥2時(shí)，
．
又當(dāng)n=1時(shí)，
．
∴．
=．
由于T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，取“=”，
∴
因此．
綜上可知，m的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列求和的倒敘相加法、數(shù)列的裂項(xiàng)法和均值不等式的應(yīng)用．考查對基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．