Question

已知{x_n}是公差為d的等差數(shù)列，

.

x

n表示{x_n}的前n項(xiàng)的平均數(shù)．
（1）證明數(shù)列{

.

x

n}是等差數(shù)列，指出公差．
（2）設(shè){x_n}的前n項(xiàng)和為S_n，{

.

x

n}的前n項(xiàng)和為T_n，{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n項(xiàng)和為U_n．若d≠0，求

lim

n→∞

Un．

Answer 1

分析：（1）由{x_n}的前n項(xiàng)的和除以n計(jì)算出前n項(xiàng)和的平均數(shù)，進(jìn)而判斷數(shù)列{

.

x

n}是等差數(shù)列．
（2）求出x_n}的前n項(xiàng)和為S_n，{

.

x

n}的前n項(xiàng)和為T_n，再做差裂項(xiàng)求出，{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n項(xiàng)和為U_n，最后求極限得解．

解答：解：（1）∵

.

x

n=

x1+x2++xn

n

=

Sn

n

=

nx1+ n(n-1) 2 d

n

=x1+(n-1)•

d

2

，
∴{

.

x

n}是以x₁為首項(xiàng)，以

d

2

為公差的等差數(shù)列．
（2）∵S_n=nx1+

n(n-1)

2

d，T_n=nx1+

n(n-1)

2

•

d

2

，
∴Sn-Tn=

n(n-1)

4

•d，∴

1

Sn+1-Tn+1

=

4

d

•

1

n(n-1)

=

4

d

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Un=

4

d

•[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

4

d

•(1-

1

n+1

)，
∴

lim

n→∞

Un=

lim

n→∞

4

d

(1-

1

n+1

)=

4

d

．

點(diǎn)評(píng)：（1）主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，即{

Sn

n

}仍為等差數(shù)列，要作為結(jié)論記住，考試常用．
（2）主要考查數(shù)列求和方法裂項(xiàng)相消法及數(shù)列極限的求法：裂項(xiàng)相消法是高考中的熱點(diǎn)．