Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函數(shù)y=

1

2

x+

1

2

的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用函數(shù)性質(zhì)得到S_n=

1

2

n2+

1

2

n，由此利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n=n．
（2）由a_n=n，推導(dǎo)出bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函數(shù)y=

1

2

x+

1

2

的圖象上，
∴

Sn

n

=

1

2

n+

1

2

，
∴S_n=

1

2

n2+

1

2

n，
∴a₁=S₁=

1

2

+

1

2

=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n2-

1

2

n）-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1滿足上式，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，
∴bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．