試題分析:(1)依題意,知
的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)
時(shí),
,
……………2分
令
=0,解得
.(∵
)
當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)
單調(diào)遞增;當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)
單調(diào)遞減.
所以
的極大值為
,此即為最大值 ……………4分
(2)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003207940711.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解,所以
有唯一實(shí)數(shù)解,
設(shè)
,則
.令
,
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003208049459.png" style="vertical-align:middle;" />,
, 所以
(舍去),
,…… 6分
當(dāng)
時(shí),
,
在(0,
)上單調(diào)遞減,
當(dāng)
時(shí),
,
在(
,+∞)單調(diào)遞增
當(dāng)
時(shí),
=0,
取最小值
.
則
既
……………10分
所以
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003208049459.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
(*)
設(shè)函數(shù)
,因?yàn)楫?dāng)
時(shí),
是增函數(shù),所以
至多有一解.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003208579528.png" style="vertical-align:middle;" />,所以方程(*)的解為
,即
,解得
………12分
(直接看出x=1時(shí),m=1/2但未證明唯一性的給3分)
點(diǎn)評:典型題,本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題,通過研究函數(shù)的單調(diào)性,明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況,得出方程解的存在情況。涉及對數(shù)函數(shù),要特別注意函數(shù)的定義域。