Question

如圖，圓O₁和圓O₂相交于A、B兩點(diǎn)，AB是圓O₂的直徑，過(guò)A點(diǎn)作圓O₁ 的切線交圓O₂于點(diǎn)E，并與BO₁，PB分別與圓O₁ 、圓O₂交于C，D兩點(diǎn)。求證
(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；
(Ⅱ)AD=AE。

Answer 1

證明：（1 ）∵PE 、PB 分別是⊙O₂的割線
∴PA.PE=PD.PB              
又∵PA 、PB 分別是⊙O 的切線和割線
∴PA²=PC.PB        
由以上條件得PA.PD=PE.PC；
（2）連接AC 、ED ，設(shè)DE 與AB 相交于點(diǎn)F
∵BC 是⊙O₁ 的直徑，
∴∠CAB=90°
∴AC 是⊙O₂的切線
由（1 ）知，
∴AC∥ED，
∴AB⊥DE，∠CAD= ∠ADE
又∵AC 是⊙O₂的切線，
∴∠CAD= ∠AED
又∠CAD=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE