Question

已知函數(shù)f（x）=lg[H（x）]，且H（x）=，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值；
（3）已知m∈R，命題p：關(guān)于x的不等式H（x）≥m²+2m-3對(duì)函數(shù)f（x）的定義域上的任意x恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由＞0，而x²+3x+6＞0恒成立即可得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）依題意，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，由H（x）==x+1++1≥，即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值；
（3）當(dāng)命題p為真時(shí)，可求得-4≤m≤2；當(dāng)命題q為真時(shí)，可求得m＞或m＜-；由“p或q”為真，“p且q”為假，可分類討論，求得m的取值范圍．
解答：解：（1）由＞0，x²+3x+6＞0恒成立得：x+1＞0即x＞-1，
∴f（x）的定義域?yàn)椋海?1，+∞）．
（2）由H（x）===x+1++1，x∈[2，4]得：
H（x）在[2，4]上單調(diào)遞增；
∴H（x）=x+1++1≥H（2）=，
∴f（x）_min=lg[H（x）_min]=lg-4lg2-lg3；
（3）由在函數(shù)f（x）的定義域上 的任意x，H（x）=x+1++1≥2+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即x=1時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng)命題p為真時(shí)，m²+2m-3≤5即-4≤m≤2；而命題q為真時(shí)：指數(shù)函數(shù)m²-1＞1，即m＞或m＜-．
因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以
當(dāng)命題p為真，命題q為假時(shí)，{m|-4≤m≤2}∩{m|-≤m≤}={m|-≤m≤}；
當(dāng)命題p為假，命題q為真時(shí)，{m|m＜-4或m＞2}∩{m|m＜-或m＞}={m|m＜-4或m＞2}，
所以m的取值范圍為：（-∞，-4）∪[-，]∪（2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合命題的真假，著重考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查“雙鉤函數(shù)”的單調(diào)性，屬于難題．