Question

已知圓C的圓心與點(diǎn)P（-2，1）關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，直線3x+4y-11=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=6，求圓C的方程．

Answer 1

分析：設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b），根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱建立關(guān)于a、b的方程組，聯(lián)解求出a、b，可得圓心C的坐標(biāo)；再根據(jù)垂徑定理列式，可求出圓的半徑，從而得到所求圓C的方程．

解答：解：設(shè)圓心坐標(biāo)C（a，b），
由圓心C與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，得到直線CP與y=x+1垂直，
結(jié)合y=x+1的斜率為1得直線CP的斜率為-1，所以

1-b

-2-a

=-1，化簡(jiǎn)得a+b+1=0①，
再由CP的中點(diǎn)在直線y=x+1上，得到

1+b

2

=

a-2

2

+1，化簡(jiǎn)得a-b-1=0②
聯(lián)解①②，可得a=0，b=-1，
∴圓心C的坐標(biāo)為（0，-1），可得圓心C到直線AB的距離d=

|-4-11|

32+42

=3，
又∵

1

2

|AB|=3，
∴根據(jù)勾股定理，得r滿足：r²=d²+（

1

2

|AB|）=18，
因此，圓C的方程為x²+（y+1）²=18．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，在已知圓被已知直線截得弦長(zhǎng)的情況下，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．