已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于、兩點(diǎn)，且，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，試問(wèn)、、、四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1);(2)詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出，利用離心率及,求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出直線的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)，利用
，求出坐標(biāo)，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)求出的坐標(biāo)，推出線段的中垂線方程和，然后求出和的交點(diǎn)為，推出四點(diǎn)共圓．
試題解析：（1）由題意可得圓的方程為，
∵直線與圓相切，∴，即，        2分
又，及，得，所以橢圓方程為．     4分
（2）因直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，故有
聯(lián)立方程組，消去，得          6分
設(shè)、，可得，于是.
又，得即          8分
而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，于是，可得點(diǎn)
若線段、的中垂線分別為和，，則有

聯(lián)立方程組，解得和的交點(diǎn)為          10分
因此，可算得

所以、、、四點(diǎn)共圓，且圓心坐標(biāo)為半徑為    12分
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合性問(wèn)題

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段 的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線段的長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求橢圓E的方程；
(2)在橢圓E上是否存點(diǎn)Q，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）過(guò)橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、、均在拋物線上.

（1）寫(xiě)出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值及直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓C0：＝1(a>b>0，a、b為常數(shù))，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝，b<t1<a.點(diǎn)A1、A2分別為C0的左、右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A、B、C、D四點(diǎn)．

(1)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)設(shè)動(dòng)圓C2：x2＋y2＝與C0相交于A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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