Question

已知函數f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數）
（1）判斷f（x）的奇偶性，并給出證明；
（2）若a＞0，設f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）f（x）為偶函數．運用奇偶性的定義，先判斷定義域是否關于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到結論；
（2）寫出f（x）的表達式，求得對稱軸方程，討論對稱軸與區(qū)間的關系，根據單調性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）f（x）為偶函數．
理由如下：定義域為R，關于原點對稱，
f（-x）=ax²-|-x|+2a-1=ax²-|x|+2a-1=f（x）
則f（x）為偶函數；                                   
（2）x∈[1，2]⇒f（x）=ax²-x+2a-1，對稱軸為x=

1

2a

，
(I)

1

2a

≤1⇒a≥

1

2

時，f（x）_min=f（1）=3a-2，
(II)

1

2a

≥2⇒0＜a≤

1

4

時，f（x）_min=f（2）=6a-3；
（ⅲ）當1＜

1

2a

＜2，即

1

4

＜a＜

1

2

時，f(x)min=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1．
綜上 g(a)=

3a-2，a≥ 1 2 6a-3，0＜a≤ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ＜a＜ 1 2

．

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷，考查二次函數在閉區(qū)間上的最值，注意討論對稱軸與區(qū)間的關系，考查運算能力，屬于中點他和易錯題．