Question

16．已知二次函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=f（x）在x=-$\frac{1}{2}$處取得極小值c-$\frac{1}{4}$（c＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的形式及函數(shù)的最小值，設(shè)出f（x），求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是函數(shù)的斜率，列出方程，求出a，m的值；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，通過(guò)討論c的范圍得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）依題可設(shè)f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）²+m（a≠0），
則f′（x）=2ax+a；
又f′（x）的圖象與直線y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-$\frac{1}{2}$處取得最小值為c-$\frac{1}{4}$．
∴m=c-$\frac{1}{4}$
∴f（x）=x²+x+c；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{c}{x}$+1，g′（x）=1-$\frac{c}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-c}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{c}$或x＜-$\sqrt{c}$（舍），
∴g（x）在（0，$\sqrt{c}$）遞減，在（$\sqrt{c}$，+∞）遞增，
0＜c＜1時(shí)，g（x）在[1，2]遞增，
∴g（x）_max=g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
1≤c＜2時(shí)，g（x）在[1，$\sqrt{c}$）遞減，在（$\sqrt{c}$，2]遞增，
而g（1）=2+c＜g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
∴g（x）_max=g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
2≤c＜4時(shí)，g（x）在[1，$\sqrt{c}$）遞減，在（$\sqrt{c}$，2]遞增，
而g（1）=2+c＞g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
∴g（x）_max=g（1）=c+2，
c≥4時(shí)，g（x）在[1，2]遞減，
∴g（x）_max=g（1）=c+2，
綜上，0＜c＜2時(shí)，g（x）_max=g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
c≥2時(shí)，g（x）_max=g（1）=c+2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和學(xué)生的計(jì)算能力．