如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E為DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：BD1∥平面EAC；
（2）求點(diǎn)D1到平面EAC的距離．

【答案】分析：（1）欲證BD1∥平面EAC，只需在平面EAC內(nèi)找一條直線BD1與平行，根據(jù)中位線定理可知EF∥D1B，滿足線面平行的判定定理所需條件，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)D1到平面EAC的距離為d，根據(jù)建立等式關(guān)系可求出d，即可求出點(diǎn)D1到平面EAC的距離．
解答：解：（1）證明：連接BD交AC于F，連EF．（1分）
因?yàn)镕為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
所長F為AC、BD的中點(diǎn)．（3分）
在DDD1B中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)，
所以EF∥D1B．（5分）
又EFÌ平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（7分）
（2）設(shè)D1到平面EAC的距離為d．
在DEAC中，EF^AC，且，，
所以，
于是．（9分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222400044670202/SYS201311012224000446702018_DA/5.png">，（11分）
又，即，（13分）
解得，故D1到平面EAC的距離為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定以及點(diǎn)到平面距離的度量，同時(shí)考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積．
（1） 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=
 
．
（2）如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)．證明：向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為8，E、F分別為AD1，CD1中點(diǎn)，G、H分別為棱DA，DC上動(dòng)點(diǎn)，且EH⊥FG．
（1）求GH長的取值范圍；
（2）當(dāng)GH取得最小值時(shí)，求證：EH與FG共面；并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E、F、G分別為棱BC、C1C、B1C1的中點(diǎn)，O1、O2分別為四邊形ADD1A1、A1B1C1D1的中心，則下列各組中的四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn)，且BF=DE=C1G=C1H=
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AB．
（1）證明：直線EH與FG共面；
（2）若正方體的棱長為3，求幾何體GHC1-EFC的體積．

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