Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，L），數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n，b_n；
（2）若T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：當n≥2時，2S_n＞T_n+3n．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2a_n-2
∴s_n-1=2a_n-1-2（n≥2）
∵a_n=s_n-s_n-1（n≥2）
∴a_n=2a_n-2a_n-1
∴（n≥2）即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列
∵a₁=s₁=2a₁-2
∴a₁=2
∴a_n=2ⁿ
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上
∴b_n+1-b_n=2∵b₁=1∴b_n=2n-1
（2）證明：由已知，=2n即證明不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立
下面用數(shù)學歸納法給出證明：
①當n=2時，2ⁿ⁺²=16，n²+3n+4=14，不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即2^k+2＞k²+3k+4成立，
那么當 n=k+1時2^k+3＞2k²+6k+8．
以下只需證明2k²+6k+8≥（k+1）²+3（k+1）+4成立
即只需證明k²+k≥0成立，因為k≥2時k²+k≥0成立
所以當n=k+1時不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立
綜合①②知原不等式成立．
分析：（1）利用a_n=s_n-s_n-1（n≥2）和S_n=2a_n-2可得（n≥2）即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列再求出a₁利用等比數(shù)列的通項公式寫出a_n即可．由點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上可得b_n+1-b_n=2即數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列在求出b₁利用等差數(shù)列的通項公式寫出即可列b_n即可．
（2）由 （1）利用等比等差數(shù)列的前n項和公式求出，=2n因此要證當n≥2時，2S_n＞T_n+3n即證不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立，而對此可采用數(shù)學歸納法證明．
點評：本題第一問較簡單主要考查了利用遞推公式S_n=2a_n-2和b_n+1-b_n=2求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式，在求{a_n}時結(jié)合了a_n=s_n-s_n-1（n≥2）得出{a_n}為等比數(shù)列這一關鍵結(jié)論．第二問在第一問的基礎上利用等比等差數(shù)列的前n項和公式來證明當n≥2時，2S_n＞T_n+3n成立而解決這個問題要做到兩點（1）等比等差數(shù)列的前n項和公式要熟記（2）利用數(shù)學歸納法證明關于n的不等式時要分兩步1．當n=n₀時驗證左右兩邊成立2．假設當n=k時不等式成立然后利用假設證明當n=k+1時不等式也成立即可說明當n≥2時，2S_n＞T_n+3n成立．但在具體的證明過程中又采用了分析法從而簡化了證明步驟！