曲線y＝6x在x＝1處的切線方程為________．

答案：(6ln6)x－y＋6－6ln6＝0
解析：

　　∵＝6xln6，

　　∴(1)＝6ln6．

　　又∵切點(diǎn)為(1，6)，

　　∴由點(diǎn)斜式得y－6＝6ln6(x－1)．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題新課標(biāo)卷 題型：044

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上

(Ⅰ)求圓C的方程；

(Ⅱ)若圓C與直線x－y＋a＝0交與A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年安徽省巢湖春暉學(xué)校高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年安徽省巢湖春暉學(xué)校高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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