Question

給出下列四個(gè)命題：
①已知

a

=(3，  4)， 

b

=(0，  1)，則

a

在

b

方向上的投影為4；
②若函數(shù)y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x（x∈R）的值恒等于2，則點(diǎn)（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2）；
③函數(shù)f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數(shù)；
④已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-c，b]，則點(diǎn)（a，b）的軌跡是直線；
⑤P是△ABC邊BC的中線AD上異于A、D的動(dòng)點(diǎn)，AD=3，則

PA

•(

PB

+

PC

)的取值范圍是[-

9

2

，  0)．
其中所有正確命題的序號(hào)是______．

Answer 1

①已知

a

=(3，  4)， 

b

=(0，  1)，則

a

在

b

方向上的投影為

a • b

| b |

=4，故是真命題；
②∵函數(shù)y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x=（a-b）+2bcos²x的值恒等于2，∴

a-b=2 b=0

，∴a=2，b=0，∴點(diǎn)（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，0），故是假命題；
③∵y=lgx在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數(shù)，故是真命題；
④函數(shù)f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-c，b]，所以b+c=0，并且b=c-a，所以b=-b-a，即b=-

1

2

a，所以點(diǎn)（a，b）的軌跡是直線，故是真命題；
⑤設(shè)|AP|=t，t∈（0，3），則|PD|=3-t，∴

PA

•(

PB

+

PC

)=2

PA

•

PD

=-2t（3-t）=2t²-6t=-2(t-

3

2

)2+

9

2

，∵t∈（0，3），∴

PA

•(

PB

+

PC

)的取值范圍是[-

9

2

，  0)，故是真命題．
故答案為：①③④⑤