Question

已知a，b，a+b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，則通項(xiàng)為an=

8

2an2+bn

的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為

2n

n+1

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件求得a=2，b=4．由 an=

8

2an2+bn

=2[

1

n

-

1

n+1

]利用裂項(xiàng)法求和可得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為
2[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

]，化簡(jiǎn)求得結(jié)果．

解答：解：∵a，b，a+b成等差數(shù)列，∴2b=a+a+b，∴b=2a．
∴a，b，ab成等比數(shù)列，∴（2a）²=a×a（2a），
∴a=2，b=4．
∵an=

8

2an2+bn

=

8

4n2+4n

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

n+1

]．
通項(xiàng)為an=

8

2an2+bn

的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為2[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
故答案為

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．