Question

一個口袋裝有n個紅球（n≥5且n∈N）和5個白球，一次摸將從中摸兩個球（每次摸獎后放回），兩個球顏色不同則為中獎．
（I）試用n表示一次摸獎中獎的概率；
（II）若n=5，求三次摸獎的中獎次數(shù)ε=1的概率及數(shù)學期望；
（III）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為p，當n取多少時，p最大？

Answer 1

分析：（I）記“1次從n+5個球中摸出2個球”為事件A，事件A包含的基本事件總數(shù)n=

(n+5)(n+4)

2

，“1次從n+5個球中摸出2個球且2個球異色”為事件B，事件B包含的基本事件個數(shù)m=5n，由此能求出一次摸獎中獎的概率．
（II）三次放回式抽獎中，“每次從n+5個球中摸出2個球，且2個球異色”為獨立重復事件，當n=5時，獲獎次數(shù)ξ～B（3，

5

9

），三次摸獎的中獎次數(shù)ε=1的概率及數(shù)學期望．
（III）設ξ～B（n，p），p（ξ+1）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p，0＜p＜1．令f（p）=3p³-6p²+3p，利用導數(shù)性質能求出當n=20時，三次摸獎恰有一次中獎的概率最大．

解答：解：（I）記“1次從n+5個球中摸出2個球”為事件A，
則事件A包含的基本事件總數(shù)n=

(n+5)(n+4)

2

，
“1次從n+5個球中摸出2個球且2個球異色”為事件B，
則事件B包含的基本事件個數(shù)m=5n，
∵兩個球顏色不同則為中獎，
∴一次摸獎中獎的概率p=

5n

(n+5)(n+4) 2

=

10n

(n+5)(n+4)

．
（II）三次放回式抽獎中，“每次從n+5個球中摸出2個球，且2個球異色”為獨立重復事件，
當n=5時，獲獎次數(shù)ξ～B（3，

5

9

），p（ξ=1）=

C

1 3

(

5

9

)(

4

9

)2=

80

243

，
Eξ=np=3×

5

9

=

5

3

．
（III）設ξ～B（n，p），
p（ξ+1）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p，0＜p＜1．
令f（p）=3p³-6p²+3p，則f′（p）=9p²-12p+3，
由f′（p）=0，得p=

1

3

．
∵當0＜p＜

1

3

時，f′（p）＞0；當

1

3

＜p＜1時，f′（p）＜0．
∴當p=

1

3

時，f（p）有最大值，
由p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20．
∴當n=20時，三次摸獎恰有一次中獎的概率最大．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數(shù)學期望和分布列，考查概率取最大值時的紅球的個數(shù)．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．