Question

18．如圖，二面角α-AB-β的大小為60°，棱上有A，B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，則直線AB與CD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 在平面α內過B作BE∥AC，過C作CE∥AB，交BE于點E，連結DE，則∠DCE是直線AB與CD所成角或所成角的補角，由此能求出直線AB與CD所成角的余弦值．

解答 解：在平面α內過B作BE∥AC，過C作CE∥AB，交BE于點E，連結DE，
∵二面角α-AB-β的大小為60°，棱上有A，B兩點，
直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，
且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，
∴四邊形ABEC是矩形，CE=AB=4，CE∥AB，
∴∠DCE是直線AB與CD所成角或所成角的補角，
DE=$\sqrt{D{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{64+36}$=10，
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
${\overrightarrow{CD}}^{2}$=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$
=36+16+64+2×6×8×cos120°=68，
∴|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{68}$=2$\sqrt{17}$，
∴cos∠DCE=$\frac{D{C}^{2}+C{E}^{2}-D{E}^{2}}{2×DC×CE}$=$\frac{68+16-100}{2\sqrt{68}×4}$=-$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
∴直線AB與CD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題主要考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．