已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，的三個頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線的方程為

（I）求拋物線S的方程；

（II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足.試說明動直線PQ是否過一個定點.

解：（I） 設拋物線S的方程為                                              

由 可得                              

由，有，或

設則

                              

設，由的重心為則，

                                                                  

∵點A在拋物線S上，∴  ∴                            

∴拋物線S的方程為                                              

   （II）當動直線的斜率存在時，

設動直線方程為，顯然                             

∵，∴

設

∴ ∴                                             

將代入拋物線方程，得∴

從而∴

∵，∴∴動直線方程為，

此時動直線PQ過定點                                             

當PQ的斜率不存在時，顯然軸，又，∴為等腰直角三角形.

由 得到，

此時直線PQ亦過點.                                                         

綜上所述，動直線PQ過定點.  

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，的三個頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線的方程為

   （I）求拋物線S的方程；

   （II）若O是坐標原點，P，Q是拋物線S上的兩動點，且滿足.試說明動直線PQ是否過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點在坐標原點,焦點在x軸上,△ABC的三個頂點都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點,若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.

(1)求拋物線S的方程;

(2)若O是坐標原點,P、Q是拋物線S上的兩個動點,且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源：2008年湖北省武漢市華中師大一附中高三五月調考數(shù)學試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點．

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