Question

已知函數，數列{a_n}滿足a₁=3a，a_n+1=f（a_n），設，數列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，f（x）=，a₁=3a，a_n+1=f（a_n），可求得a₂，又b_n=，從而可求得b₁，b₂的值；
（2）由a_n+1=，b_n=，可求得b_n+1=，結合（1）中求得的b₁，b₂可知{lgb_n}是以2為公比，首項為-lg2的等比數列，從而可求數列{b_n}的通項公式；
（3）由（2）得T_n=+++…+，易證當n≤3時，T_n＜；當n＞3時，利用二項式性質2^n-1=（1+1）^n-1＞1++＞1+（n-1）+1=n+1，亦可證得T_n＜．
解答：解：（1）∵f（x）=（a＞0），a₁=3a，a_n+1=f（a_n），
∴a₂=f（a₁）==a．
由b_n=得b₁=，b₂=…2分
（2）∵a_n+1=，b_n=，
∴b_n+1====…4分
又b₁=，故對一切正整數n，都有b_n＞0，
∴l(xiāng)gb_n+1=2lgb_n，
又lgb₁=lg=-lg2≠0，
∴{lgb_n}是以2為公比，首項為-lg2的等比數列．
故lgb_n=（-lg2）×2^n-1=lg…6分
∴b_n=…7分
（3）由（2）得T_n=+++…+，
當n≤3時，T_n≤++=＜；…8分
當n＞3時，T_n=+++…+=+[++…+]，…9分
又當n＞3時，2^n-1=（1+1）^n-1＞1++＞1+（n-1）+1=n+1，…10分
∴T_n＜+[++…+]
=+
=+[1-]＜+=…13分
綜上，T_n＜…14分
點評：本題考查數列的求和，突出考查數列的函數特性，考查等比數列的確定及通項公式與求和公式的綜合應用，考查二項式定理，屬于難題．