已知函數(shù)f(x)=
13
x3-ax+b
,其中實數(shù)a,b是常數(shù).
(1)已知a∈{0,1,2},b∈{0,1,2},求事件A“f(1)≥0”發(fā)生的概率;
(2)若f(x)是R上的奇函數(shù),g(a)是f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值,求當(dāng)|a|≥1時g(a)的解析式.
分析:(1)當(dāng)a∈{0,1,2},b∈{0,1,2}時,等可能發(fā)生的基本事件(a,b)共有9個,其中事件A“f(1)=
1
3
-a+b≥0
”,包含6個基本事件,由此能求出事件“f(1)≥0”發(fā)生的概率.
(2)f(x)=
1
3
x3-ax+b
,是R上的奇函數(shù),得f(0)=0,b=0.f(x)=
1
3
x3-ax
,f'(x)=x2-a,再由a的取值范圍分類討論知答案.
解答:解:(1)當(dāng)a∈{0,1,2},b∈{0,1,2}時,等可能發(fā)生的基本事件(a,b)共有9個:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2).(4分)
其中事件A“f(1)=
1
3
-a+b≥0
”,包含6個基本事件:(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2).(4分)
P(A)=
6
9
=
2
3
.(6分)
答:事件“f(1)≥0”發(fā)生的概率
2
3
.(7分)
(2)f(x)=
1
3
x3-ax+b
,是R上的奇函數(shù),得f(0)=0,b=0.(8分)
f(x)=
1
3
x3-ax
,f'(x)=x2-a,(9分)
當(dāng)a≥1時,因為-1≤x≤1,所以f'(x)≤0,f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,
從而g(a)=f(1)=
1
3
-a
;(11分)
當(dāng)a≤-1時,因為-1≤x≤1,所以f'(x)>0,f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增,
從而g(a)=f(-1)=-
1
3
+a
.(13分)
綜上,知g(a)=
a-
1
3
  a≤-1
-a+
1
3
, a≥1
.(14分)
點評:本題考查概率的應(yīng)用和性質(zhì),出題者巧妙地把函數(shù)和概率融合在一起,體會了出題者的智慧,解題時也要合理地運用函數(shù)的性質(zhì)進行求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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