Question

設(shè)f(x)=

x2-3x+8

2

(x≥2)，g（x）=a^x（x＞2）．
（1）若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

[3，+∞）

（2）若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（1，

3

）

．

Answer 1

分析：（1）配方可得當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增，所以f（x）_min=3，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），即使得f（x）的值域是g（x）值域的子集，由此可求結(jié)論．

解答：解：（1）f(x)=

x2-3x+8

2

=

1

2

(x-

3

2

)2-

23

8

當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增，所以f（x）_min=3
∵?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）
（2）?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），即使得f（x）的值域是g（x）值域的子集
?x∈[2，+∞），f（x）的值域?yàn)閇3，+∞）
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）=a^x（x＞2）的值域?yàn)椋╝²，+∞），∴a²＜3，∴1＜a＜

3

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，顯然不成立
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，

3

）
故答案為：[3，+∞），（1，

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．