Question

雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4px（p＞0）的焦點(diǎn)重合，且在第一象限的交點(diǎn)為M，MF垂直于x軸，則雙曲線的離心率是（　　）

• A、2

  2

  +2
• B、2

  2

• C、

  2

  +1
• D、

  2

  +2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的方程算出其焦點(diǎn)為F（p，0），得到|MF|=2p．設(shè)雙曲線的另一個焦點(diǎn)為F'，由雙曲線的右焦點(diǎn)為F算出雙曲線的焦距|FF'|=2p，△TFF'中利用勾股定理算出|MF'|=2

2

p，再由雙曲線的定義算出2a=（

2

-1）p，利用雙曲線的離心率公式加以計算，可得答案．

解答： 解：拋物線y²=4px的焦點(diǎn)為F（p，0），
由MF與x軸垂直，令x=p，可得|MF|=2p，
雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1的實(shí)半軸為2a，半焦距c，另一個焦點(diǎn)為F'，
由拋物線y²=4px的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，
即c=p，可得雙曲線的焦距|FF'|=2c=2p，
由于△MFF'為直角三角形，則|MF'|=

|FF′|2+|MF|2

=

4p2+4p2

=2

2

p，
根據(jù)雙曲線的定義，得4a=|MF'|-|MF|=2

2

p-2p，可得a=

2 -1

2

p．
因此，該雙曲線的離心率e=

p

( 2 -1)p

=

2

+1．
故選C．

點(diǎn)評：本題給出共焦點(diǎn)的雙曲線與拋物線，在它們的交點(diǎn)在x軸上射影恰好為拋物線的焦點(diǎn)時，求雙曲線的離心率．著重考查了拋物線和雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．