Question

13．若將函數(shù)f（x）=cosx-sinx的圖象向右平移m個(gè)單位后恰好與函數(shù)y=-f′（x），的圖象重合，則m的值可以為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位后，的到的函數(shù)為y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x），函數(shù)y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由題意可得 $\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），故有$\frac{π}{4}$+m-x=x+$\frac{π}{4}$+2kπ，或$\frac{π}{4}$+m-x=2kπ+π-（x+$\frac{π}{4}$），k∈z．結(jié)合所給的選項(xiàng)，得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosx-sinx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
函數(shù)y=-f′（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（sinx $\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
把f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位后，得到的函數(shù)為y=-$\sqrt{2}$sin[（x-m）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x），
由題意可得 $\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
故有 $\frac{π}{4}$+m-x=x+$\frac{π}{4}$+2kπ，或 $\frac{π}{4}$+m-x=2kπ+π-（x+$\frac{π}{4}$），k∈z．
結(jié)合所給的選項(xiàng)，只有B才滿(mǎn)足條件，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，求得$\frac{π}{4}$+m-x=x+$\frac{π}{4}$+2kπ，或$\frac{π}{4}$+m-x=2kπ+π-（x+$\frac{π}{4}$），k∈z，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．