已知
m
=(sinx+cosx,
3
cosx)
,
n
=(cosx-sinx,2sinx)
,函數(shù)f(x)=
m
n
,
(Ⅰ)求x∈[-
π
6
π
3
]
時(shí),函數(shù)f(x)的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C、的對(duì)邊,且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,求△ABC的面積.
分析:(Ⅰ)利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算
m
n
即可得到f(x)的解析式,然后由x的范圍,求出2x+
π
6
的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可得到f(x)的取值范圍;
(Ⅱ)把x=A代入f(x)的解析式中得到f(A)的值,并讓其值等于1得到正弦函數(shù)的值為
1
2
,根據(jù)A的范圍求出2A+
π
6
的范圍,再利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù),然后利用余弦定理化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)于b與c的關(guān)系式,根據(jù)b+c=3,兩者聯(lián)立即可求出b和c的值,然后利用三角形的面積公式,由bc的值及sinA的值即可求出△ABC的面積.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=2sin(2x+
π
6
)
,
x∈[-
π
6
,
π
3
]
,
得到2x+
π
6
∈[-
π
6
6
]

所以f(x)∈[-1,2];
(Ⅱ)由f(x)=2sin(2x+
π
6
)
,
∵f(A)=1,2sin(2A+
π
6
)=1
,∴sin(2A+
π
6
)=
1
2

∵0<A<π,∴
π
6
<2A+
π
6
13π
6
,∴2A+
π
6
=
6
?A=
π
3

由余弦定理知cosA=
b2+c2-a2
2bc
,∴b2+c2-bc=3
又b+c=3,
聯(lián)立解得
b=2
c=1
b=1
c=2
,
S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
2
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生掌握正弦函數(shù)的圖象及值域,靈活運(yùn)用余弦定理及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值,靈活運(yùn)用三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值,是一道綜合題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
m
=(sinx,cosx)(0<x<
π
2
),
n
=(1,-1)
,且
m
n
=
1
5
,
(1)求sin(x+
π
2
)+cos(x+
2
)
的值;
(2)求
sin2x+2sin2x
1-tanx
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知m=sinx+(0<x≤),n=(x<0),則m、n之間的大小關(guān)系是(    )

A.m>n          B.m<n                 C.m≥n              D.m≤n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知m=sinx+(0<x≤),n=((x<0),則m、n之間的大小關(guān)系是 (    )

A.m>n                B.m<n               C.m≥n              D.m≤n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知
m
=(sinx+cosx,
3
cosx)
n
=(cosx-sinx,2sinx)
,函數(shù)f(x)=
m
n
,
(Ⅰ)求x∈[-
π
6
,
π
3
]
時(shí),函數(shù)f(x)的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C、的對(duì)邊,且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,求△ABC的面積.

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