Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性并求的最小值；

（2）若對(duì)任意，都成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞增，2；（2）.

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）先將的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用與在都為增函數(shù)判斷的單調(diào)性，再用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明，進(jìn)而求的最小值；（2）因?yàn)楦改负銥檎�，所以只研究分子的符�?hào)即可，采用分離常數(shù)法進(jìn)行求解.

規(guī)律總結(jié)：不等式恒成立問(wèn)題，一般思路將常數(shù)進(jìn)行分離，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

試題解析：（1）當(dāng)a＝－1時(shí)f（x）＝，

對(duì)任意，

∵，∴∴

∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1）<f（x2）

所以f（x）在上單調(diào)遞增

所以x＝1時(shí)f（x）取最小值，最小值為2

（2）若對(duì)任意x，f（x）>0恒成立，則>0

對(duì)任意x恒成立，所以x2＋2x＋a>0對(duì)任意x恒成立，

令g（x）＝x2＋2x＋a， x

因?yàn)間（x）＝ x2＋2x＋a在上單調(diào)遞增，

所以x＝1時(shí)g（x）取最小值，最小值為3＋a，

∵ 3＋a>0，∴ a>－3.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.不等式恒成立問(wèn)題.