Question

已知數(shù)列{a_n}是正數(shù)組成的等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，并且a₃＝5，a₄S₂＝28．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)求證：不等式(1＋)(1＋)…(1＋)·對(duì)一切n∈N₊均成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由已知，得 　　∴(10－3d)(5＋d)＝28， 　　∴3d2＋5d－22＝0，解之得d＝2或d＝． 　　∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正， 　　∴d＝2．∴a1＝1， 　　∴an＝2n－1． 　　(2)證明：∵n∈N+， 　　∴只需證明(1＋)(1＋)…(1＋)≥成立． 　�、佼�(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝2，右邊＝2， 　　∴不等式成立． 　�、诩僭O(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即 　　(1＋)(1＋)…(1＋)≥． 　　那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 　　(1＋)(1＋)…(1＋)(1＋)≥(1＋)＝ 　　以下只需證明． 　　即只需證明2k＋2≥． 　　∵(2k＋2)2－()2＝1＞0， 　　∴(1＋)(1＋)…(1＋)≥． 　　綜上①②知，不等式對(duì)于n∈N+都成立． 　　思路分析：第(2)問(wèn)中的不等式左側(cè)，每個(gè)括號(hào)的規(guī)律是一致的，因此顯得“多余”，所以可嘗試變形，即把不等式兩邊同乘以，然后再證明．